赤ちゃんは、お母さんから免疫力をもらって生まれてきます。
ただその力も6か月程度でなくなってしまい、それから先は自分の力で免疫力を作り出していくようになっています。ですから、まず病気にかかりやすくなるタイミングがあるということを理解しておきましょう。
もちろん、生後半年以内でも病気にかかるケースがありますから、日常の観察が大事です。

生後間もなくには「黄疸」が出ることがあります。
肝臓の機能が追い付かないために生じるもので、多くの場合は自然治癒します。状況をみて医師に相談してみてください。
消化管から出血して、吐血や下血するのが「新生児メレナ」です。比較的発生しやすい症状なので、落ち着いて病院で受診してください。

その他、免疫力が弱いため感染症による症状が出ることが多くあります。
突然の高熱や、発疹、けいれんなどを起こすことがあれば、早めに医師の診断を受けてください。